小学数学应用题型-4

南平

小学数学典型应用题（4）
14  盈亏问题【含义】    根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】  一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：                          参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差              如果两次都盈或都亏，则有：                          参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差                          参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 【解题思路和方法】  大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1    给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解   按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？  （11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？     3×12＋11＝47（个）                                答：有小朋友12人，有47个苹果。例2    修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？解  题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为  （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）这条路全长为           300×（22＋4）＝7800（米）                                   答：这条路全长7800米。例3    学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解  本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？  （30－0）÷（45－40）＝6（辆）（2）有多少人？   40×6＋30＝270（人）                                   答：有6 辆车，有270人。        15  工程问题【含义】    工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】  解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间     工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】  变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1     一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解  题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：       1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）                                     答：两队合做需要6天完成。例2    一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解  设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）（2）这批零件共有多少个？       7÷（1/6－1/8）＝168（个）                                    答：这批零件共有168个。解二  上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为  1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成总工作量的  4－3  /  4＋3  ＝1/7                                所以，这批零件共有    24÷1/7＝168（个）例3    一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解  必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60÷12＝5    60÷10＝6    60÷15＝4           因此余下的工作量由乙丙合做还需要      （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）                                       答：还需要5小时才能完成。例4    一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解  注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为    （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为   1×4×5－1×5＝15   又因为在2小时内，每个进水管的注水量为  1×2，    所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？  （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）                             答：至少需要9个进水管。     16  正反比例问题【含义】    两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】  判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】  解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1    修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解  由条件知， 公路总长不变。原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为                                   300÷（4－3）×12＝3600（米）                                    答： 这条公路总长3600米。例2    张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解  做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题  则有  28∶4＝91∶X28X＝91×4    X＝91×4÷28     X＝13                                    答：91分钟可以做13道应用题。例3    孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解  书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有  24∶36＝X∶15   36X＝24×15   X＝10                                    答：10天就可以看完。例4    一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
A                                                 25
20
36
B
16
             解   由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A∶36＝20∶16        25∶B＝20∶16   解这两个比例，得  A＝45  B＝20        所以，大矩形面积为  45＋36＋25＋20＋20＋16＝162                                        答：大矩形的面积是162        17  按比例分配问题【含义】    所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】  从条件看，已知总量和几个部分量的比；              从问题看，求几个部分量各是多少。  总份数＝比的前后项之和 【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？            解  总份数为           47＋48＋45＝140                     一班植树    560×47/140＝188（棵）                     二班植树    560×48/140＝192（棵）                     三班植树    560×45/140＝180（棵）           答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？            解  3＋4＋5＝12    60×3/12＝15（厘米）  60×4/12＝20（厘米）                60×5/12＝25（厘米）            答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。例3    从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。            解  如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到   1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2         9＋6＋2＝17    17×9/17＝9   17×6/17＝6    17×2/17＝2            答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。例4    某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？
   人  数   80人一共多少人？
对应的份数
   12－88＋12＋21
             解  80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）                                       答：三个车间一共820人。