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小学数学典型应用题(3)
10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?解 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。例2 母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37-7=30(岁)(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)
列成综合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。例3 3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁?解 今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×2)岁,今年二人的年龄和为 49+3×2=55(岁)把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于(4+1)倍,因此,今年儿子年龄为 55÷(4+1)=11(岁)今年父亲年龄为 11×4=44(岁) 答:今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。例4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?解
这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:
过去某一年
今 年将来某一年
甲 □岁 △岁 61岁 乙 4岁 □岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,因此二人年龄差为 (61-4)÷3=19(岁) 甲今年的岁数为 △=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为 □=42-19=23(岁) 答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。 11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速 (顺水速度-逆水速度)÷2=水速 顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时 320÷8-15=25(千米)船的逆水速为 25-15=10(千米)船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。例2 甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?解由题意得 甲船速+水速=360÷10=36甲船速-水速=360÷18=20
可见 (36-20)相当于水速的2倍,所以, 水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)又因为, 乙船速-水速=360÷15,
所以, 乙船速为 360÷15+8=32(千米)乙船顺水速为 32+8=40(千米)所以, 乙船顺水航行360千米需要 360÷40=9(小时) 答:乙船返回原地需要9小时。例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?解 这道题可以按照流水问题来解答。(1)两城相距多少千米? (576-24)×3=1656(千米)(2)顺风飞回需要多少小时? 1656÷(576+24)=2.76(小时)
列成综合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时)
答:飞机顺风飞回需要2.76小时。 12 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速 火车追及: 追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速) 火车相遇: 相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。(1)火车3分钟行多少米? 900×3=2700(米)(2)这列火车长多少米? 2700-2400=300(米)列成综合算式 900×3-2400=300(米) 答:这列火车长300米。例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为8×125-200=800(米)
答:大桥的长度是800米。例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?解 从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答:需要73秒。例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。150÷(22+3)=6(秒)
答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?解 车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2000-1250)米的路程,因此,火车的车速为每秒(2000-1250)÷(88-58)=25(米)
进而可知,车长和桥长的和为(25×58)米,因此,车长为
25×58-1250=200(米)
答:这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。 13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍,二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12)=2(分钟) 答:再经过2分钟时针正好与分针重合。例2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?解 钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走 (5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。 (5×4-15)÷(1-1/12)=5(分钟)
(5×4+15)÷(1-1/12)=38(分钟)
答:4点05分及4点38分时两针成直角。例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合?解 六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 (5×6)÷(1-1/12)=36(分钟) 答:6点36分的时候分针与时针重合。
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