小学数学应用题型-7

南平

小学数学典型应用题（7）
    25  构图布数问题【含义】    这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 【数量关系】   根据不同题目的要求而定。 【解题思路和方法】  通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。 例1    十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。        解  符合题目要求的图形应是一个五角星。                         4×5÷2＝10            因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。例2    九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。        解  符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3    九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。        解  符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。    4×3－3＝9例4    把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。        解  共有五种写法，即  12＝1＋4＋7   12＝1＋5＋6   12＝2＋3＋7                              12＝2＋4＋6   12＝3＋4＋5            在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：                 26  幻方问题【含义】    把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 【数量关系】  每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。               三级幻方的幻和＝45÷3＝15                  五级幻方的幻和＝325÷5＝65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例1    把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解  幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以  （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
2
7
6
9
5
1
4
3
8
         即   45＋3Χ＝60    所以     Χ＝5            接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们        分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别        在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2    把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，        使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。            解  只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为                   （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18            假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：                最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3                最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4                最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大数是7： 18＝7＋6＋5          刚好写成8个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。

9
2
7
4
6
8
5
10
3
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
          27  抽屉原则问题【含义】    把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】  基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路和方法】  （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。例1                育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解  由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。    这说明至少有2个学生的生日是同一天的。例2    据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？        解  人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到            3645÷20＝182……5    根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183        答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。例3    一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？        解  把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11  看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。        答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。        28  公约公倍问题【含义】    需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】  绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。 【解题思路和方法】  先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。 例1    一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？          解  硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。              60和56的最大公约数是4。    答：正方形的边长是4厘米。例2    甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？          解  要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。             36、30、48的最小公倍数是720。          答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。例3    一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？          解  相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树  （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）          答：至少要植26棵树。例4    一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。         解  如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为                        60×3＋1＝181（个）         答：棋子的总数是181个。        29  最值问题【含义】    科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】  一般是求最大值或最小值。 【解题思路和方法】  按照题目的要求，求出最大值或最小值。 例1    在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？         解  先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。         答：最少需要9分钟。例2    在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？        解  我们采用尝试比较的方法来解答。            集中到1号场总费用为  1×200×10＋1×400×40＝18000（元）            集中到2号场总费用为  1×100×10＋1×400×30＝13000（元）       集中到3号场总费用为  1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）       集中到4号场总费用为  1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）       集中到5号场总费用为  1×100×40＋1×200×30＝10000（元）                  经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。        答：集中到5号煤场费用最少。
重庆
武汉
北京
800
400
上海
500
300
例3    北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，    若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？        解  北京调运到重庆的运费最高，因此，北京    往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调    往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为              500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）        答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。        30  列方程问题【含义】    把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。 【数量关系】   方程的等号两边数量相等。 【解题思路和方法】  可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。         （1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。         （2）设：把应用题中的未知数设为Χ。         （3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。         （4）解；求出所列方程的解。         （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。         （6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。      同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。 例1    甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？            解  第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。                找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。                列方程：    90－Χ＝2Χ－30 解方程得    Χ＝40    从而知     90－Χ＝50第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程       （2Χ－30）＋Χ＝90解方程得    Χ＝40    从而得知    2Χ－30＝50                                             答：甲班有50人，乙班有40人。例2    鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？           解  第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程    4Χ＋2（35－Χ）＝94   解方程得   Χ＝12   则35－Χ＝23   第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有  兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）                     所以  兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）                           鸡数＝35－12＝23（只）                                           答：鸡是23只，兔是12只。例3    仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？           解  第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。                               940÷4－125＝110（袋）               第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。                         （940－125×4）÷4＝110（袋）               第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125                                               解方程得    Χ＝110               第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得                   （125＋Χ）×4＝940         解方程得    Χ＝110                                             答：乙汽车每次运110袋